\[ J(u+\epsilon v)=\iiint_{\Omega} \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial (u+\epsilon v)}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial (u+\epsilon v)}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial (u+\epsilon v)}{\partial z}\right)^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Gamma}\left(\frac{1}{2} \sigma (u+\epsilon v)^2-g (u+\epsilon v)\right) \mathrm{d} s \]

我们可以将 $J(u+\epsilon v)$ 展开成关于 $\epsilon$ 的表达式。首先，我们替换 $u$ 为 $u + \epsilon v$，然后对整个表达式进行展开和化简。这样我们可以得到 $J(u+\epsilon v)$ 关于 $\epsilon$ 的表达式。在这个过程中，我们需要特别注意分离含有 $\epsilon$ 的项，并保留一阶项。通过这些步骤，我们能够求得所需的表达式。